Geometriaa laatoittamalla? : van Hielen teorian mukainen geometrinen ajattelu ja tesselaatioon nojautuva Laatoitusprojekti peruskoulussa

Abstract

Tämän tutkimuksen keskiössä oli kaksi ilmiötä: tesselaatioon nojautuva kuvataiteeseen integroitu perusopetuksen 5.–6. luokan geometrian oppimisympäristö sekä 5.–9.-luokkalaisten geometrisen tiedon omaksuminen ja geometrinen ajattelu. Tutkimukseni teoreettinen viitekehys rakentuu geometrian opetuksen ja oppimisen pedagogisiin linjauksiin sekä van Hielen geometrisen ajattelun kehitysteoriaan. Päähuomio kohdistetaan geometrian opetuksen kehittämishankkeeseen, jota toteutettiin perusopetuksessa 2002–2015. Tämä uudentyyppinen opetuskokonaisuus ohjaa oppilaita aikaisempaa osallistavampaan matematiikkaan.

Tutkimukseni tavoitteena on a) kehittää ja kuvata toiminnallinen ja ongelmalähtöinen tesselaatioon nojautuva geometrian ja kuvataiteen integroitu oppimisympäristö, niin sanottu Laatoitusprojekti, peruskoulun 5.–6. luokalla, b) selvittää Laatoitusprojektiin osallistuneiden oppilaiden geometrista tietämystä ja sen tukemista sekä tarkastella 5.–9.-luokkalaisten geometrisen ajattelun van Hielen teorian mukaista kehitystasoa eri tutkimusvuosina sekä c) selvittää Laatoitusprojektin onnistuneisuutta mukana olleiden oppilaiden ja opettajien arvioimana.

Tutkimus on luonteeltaan toimintatutkimus ja sitä varten kehitettiin peruskoulun 5.–6.-luokkalaisille geometrista ajattelua sekä vuorovaikutteisuutta ja luovuutta tukeva oppimisympäristö, jonka tavoitteena oli myös vahvistaa erilaisten oppilaiden osallisuuden kokemuksia. Opetuksessa pääongelmaksi määriteltiin seuraava tesselaatioon nojautuva kysymys: Minkä muotoiset keskenään samanlaiset laatat voidaan sovittaa toisiinsa siten, että vapaa tasopinta peittyy aukottomasti ja ilman päällekkäisyyttä? Tutkimuksen empiirisessä osassa tarkasteltiin oppilaiden toimintaa ja geometrisen ajattelun ilmenemistä Laatoitusprojektin ongelmatehtävien ratkaisuissa.

Kvalitatiivista tutkimusaineistoa kerättiin projektityöskentelyn aikana havainnoimalla ja kuvaamalla luokkatilanteita. Kvantitatiivista tutkimusaineistoa saatiin projektin alussa suoritetulla geometrian osaamista mittaavalla lähtötasotestillä ja lopussa suoritetulla geometrian testillä. Geometrian testiin osallistuivat vuosina 2005 ja 2006 kaikki ala- ja yläkoulun tutkimushenkilöt. Geometrian testissä oli kolme osiota, joiden avulla tarkasteltiin oppilaan geometrisen ajattelun van Hielen tasoa. Osiossa G1 selvitettiin geometristen tasokuvioiden tunnistamista, osiossa G2 kuvioiden ominaisuuksia ja osiossa G3 kuvioiden järjestämistä. Näillä osioilla oli perusteltu yhteys van Hielen teoriaan. Projektityön päättyessä oppilaat kuvailivat kokemuksiaan itsearvioinnin avulla.

Tuloksia tarkasteltiin monimenetelmällisesti. Kvalitatiiviset menetelmät toimivat käytännön opetustilanteiden syvällisessä tutkimisessa sekä oppilaiden ja opettajien suorittamissa arvioinneissa. Kvantitatiivisia menetelmiä käytettiin geometrian testisuoritusten tilastollisten merkitsevyyksien selvittämisessä. Tutkimusaineisto kaikille tutkimushenkilöille suunnatun geometrian testin osalta analysoitiin käyttämällä ristiintaulukointia, frekvenssitaulukoita ja t-testiä sekä luokittelemalla oppilaat van Hielen kehitystasoille hyödyntäen aikaisempien tutkimusten pohjalta laadittuja kriteerejä. Toimintatutkimuksellisen otteen ja teoriasidonnaisen sisältöanalyysin avulla analysoitiin ja tulkittiin oppilaiden arviointeja Laatoitusprojektista, oppitunteja ja niistä taltioituja videoita ja digitaalisia kuvia sekä tutkijan tutkimuspäiväkirjaa. Tutkimuksessa mukana olleiden opettajien arviointi perustui tutkija-opettajan kanssa käytyihin palautekeskusteluihin.

Laatoitusprojektin yhteydessä tehtyjen geometrian lähtötasotestien perusteella oppilaiden geometrian taitojen harjaantuminen ilmeni iän ja oppimisen myötä. Projektiin osallistuneilla oppilailla oli tulosten perusteella rinnakkaisluokkia laajempi geometrinen tietämys. Geometrian kaikille tutkimushenkilöille suunnattu testi osoitti molempina tutkimusvuosina, että Laatoitusprojektiin osallistuneilla oppilailla oli luokkatasoonsa nähden paremmat tiedot kuin verrokkiryhmien oppilailla. Matemaattis-luonnontiedepainotteisten (”Luma”) luokkien oppilaat menestyivät yläkoulussa myös molempina tutkimusvuosina verrokkiryhmiä paremmin.

Tämän tutkimuksen kohteena olleiden 11–12-vuotiaiden oppilaiden geometrinen ajattelu kohdentui erityisesti tunnistamisen tasolle vH1. Geometrisen ajattelun kehittyminen tässä tutkimuksessa eri tutkimusvuosien aikana ilmeni pääasiassa siirtymisenä alimmalta tasolta vH0 tunnistamisen tasolle vH1. Tutkimustulokset kaikkien geometrian testiin 2003 (N=39), 2005 (N=200) ja 2006 (N=184) osallistuneiden perusopetuksen 11–16-vuotiaiden oppilaiden osalta myötäilevät vastaavia kansallisia ja kansainvälisiä tutkimustuloksia, joissa geometrinen ajattelu ilmenee tuossa ikävaiheessa tasoilla 1, 2 ja 3. Tulosten voidaan tulkita vahvistavan van Hielen kehitysteoriaa, jonka mukaan peruskouluikäisten geometrinen ajattelu on konkreettista ja painottuu visuaaliseen havainnointiin. Oppilaat osaavat näin yleisimmät geometriset käsitteet ja päättelevät ne suurelta osin näköhavaintojensa perusteella.

Oppilaat kokivat projektityöskentelyn kehittävän yhteistyötaitoja ja vahvistavan onnistumisen ja osallisuuden kokemuksia. Toiminnallinen ja ongelmalähtöinen geometrian oppimisympäristö edisti oppilaiden käsitteellistä ymmärrystä. Keskeistä tulkinnoissa oli oppimisympäristön turvallisuus ja omaan kokemusmaailmaan nivoutuminen. Opetuksen integrointi kuvataiteeseen vahvisti oppilaiden kokemuksellista oppimista sekä luovuuden ilmenemistä. Parhaimman tuloksen integroinnin onnistumisesta antoivat ”The Art of Tessellations” -näyttelyt, joissa oppilaiden neliölaatan pohjalta luomat yksilölliset ja kauniit kuvataideteokset herättivät katsojissa mielenkiintoa.

Opettajille Laatoitusprojekti tarjoaa haasteen uuden opetussuunnitelman mukaiseen toiminnalliseen, luovuutta korostavaan ja oppiaineiden rajat ylittävään projektityöskentelyyn sekä yleisopetuksen eriyttävään oppimisympäristöön. Projektityöskentelyn aikana keskusteltiin säännöllisesti töiden etenemisestä sekä pohdittiin eri ratkaisumallien mahdollisuuksia yksilö- ja ryhmätyön näkökulmista. Geometrian opetus tesselaation viitekehyksessä on perusteltua toiminnallisen ja ongelmalähtöisen kuvataiteeseen integroidun Laatoitusprojektin kontekstissa. Oppimisympäristön toteuttamisessa tulisi varata riittävästi aikaa toimintaan ja yhteiseen reflektioon sekä mahdollisuus kaikin tavoin tukea oppilaiden erilaisuutta.

The study focused on two phenomena: (1) on a geometry learning environment that was based on tessellations and integrated with art education focusing on the fifth and sixth grades and (2) on the learning of geometric information and geometric thinking in 5th–9th -graders. The theoretical framework leaned on geometry teaching and pedagogical guidelines of learning as well as on van Hiele’s theory of the development in geometric thinking. The main attention was paid on the developmental project of geometry teaching that was implemented in basic education in 2002–2015. This new kind of teaching entity introduced student with more participatory math education than before.

The purpose of this study is (a) to develop and describe an action-oriented and problem-based learning environment, the so-called Tiling Project, integrating geometry and art education and leaning on tessellations at the fifth and sixth grades of Finnish basic education; (b) to chart the geometric knowledge of those students who participated in the Tiling Project and how it could be supported, as well as to analyze the van Hiele levels in 5th–9th –graders during the research years; and (c) to analyze the outcomes of the Tiling Project as described by students and teachers participating in it.

The study was an action research during which a learning environment was developed and implemented among fifth- and sixth-graders of basic education. The learning environment was to support their geometric thinking as well as their interaction, creativity, and experiences of participation. The main task in teaching was the following question about tessellations: Which kinds of similar tiles can be arranged together so that the open surface will be covered completely without gaps and without overlaps? The empirical part of the study observed and analyzed students’ action and their geometric thinking when solving tasks during the Tiling Project.

The qualitative research data were collected during the project by observing and filming classroom situations. The quantitative data were obtained by initial measurements of students’ geometric knowledge and by a geometry test after the project. In 2005 and 2006, all research participants from elementary and middle school took the geometry test. It consisted of three sections that helped determine the van Hiele levels of geometric thinking in students. The section G1 measured how well students could recognize geometric shapes, the section G2 included characteristics of various shapes, and the section G3 the hierarchy of shapes. The sections had a reasoned basis on the van Hiele’s theory. After the project, students described their experiences with self-assessment forms.

The results were analyzed with a mixed-methods approach. Qualitative methods provided information about practical teaching situations and student and teacher evaluations. Quantitative methods were used for analyzing statistical significances in students’ geometric tests. Analyzing methods included cross-tabulations, frequencies, and t-tests. Students’ van Hiele levels were found by applying criteria used in previous studies. The action research approach and theory-based content analyzing methods provided analyses and interpretations of student evaluations, lessons and videos and digital photos of the lessons, and the researcher’s diary. Teachers’ evaluations of the Tiling Project were obtained through feedback conversations with the teacher-researcher. Based on the initial measurements, students developed in geometry skills along with age and learning during the Tiling Project. According to the results, student who participated in the project had wider geometric knowledge than students in their parallel grades. The geometry test that all research participants took in both research years showed that students who participated in the Tiling Project had better knowledge in consideration of their grade and compared to their comparison group. In addition, students in the so-called Luma grades that participated in a developmental project of math and natural science teaching in middle school performed better than their comparison groups in both research years.

The geometric thinking of students aged between 11–12 years in this study presented especially the level of geometric recognition vH1. The development of geometric thinking in this study during different research years appeared mainly as progress from the lowest level vH0 to the level vH1. The research results of all students aged between 11–16 years who participated in the geometry test in 2003 (N=39), 2005 (N=200), and 2006 (N=184) were consistent with national and international findings according to which the geometric thinking of children of that age represents levels 1, 2, and 3. The results can also be interpreted to confirm van Hiele’s theory according to which geometric thinking is concrete and based on visual observations. Students knew the most common geometric concepts and concluded them mainly based on their visual observations.

Students reported that the project work had developed their collaboration skills and strengthened their experiences of success and participation. The action-oriented and problem-based geometric learning environment had promoted students’ conceptual understanding. The safety of the learning environment and connection with their concrete experiences were considered important. Integration with art education had supported students’ experiential learning and expressions of creativity. The best manifestations of the success were “The Art of Tessellations” exhibitions where students’ personal and beautiful works of art that were made on a square surface ignited interest in audience.

For teachers, the Tiling Project presented a challenge of taking part in an action-oriented, creativity-emphasizing, and cross-curriculum project work that follows the idea of the new national core curriculum for basic education. It also represented a segregating learning environment within general education. During the project, teachers discussed regularly about the progress of work and analyzed the possibilities of various solutions from the perspectives of individual working and team work. Geometry teaching in the tessellations framework that integrates art education is justified within the context of action-oriented and problem-based context of the Tiling Project. When implementing the learning environment, it is important to have sufficiently time for activities and joint reflection, and for opportunities to support various learners.