Matematiikan ymmärtämisestä : käsitteistä käytäntöön

Abstract

Peruskoulun opetuksen keskeisiin yleistavoitteisiin ovat 1970-luvulta lähtien kuuluneet ajattelutaitojen ja ymmärtämisen kehittäminen. Tämän tutkimuksen päätarkoitus on selvittää ymmärtämisen luonnetta ja tehtävää matematiikan oppimisessa. Ymmärtäminen ei ole mikään joko/tai -asia, vaan käsite, jolla on useita merkityksiä ja tehtäviä eri konteksteissa. Englannin kielessä on kaksi sanaa verbille ymmärtää: comprehend ja understand. Niitä voidaan pitää lähes synonyymeinä. Edellinen viittaa prosessiin ja prosessin tulokseen, jälkimmäinen vain prosessin tulokseen. Suomen kielessä ymmärtäminen onkin nähtävä dualistisena, koska vastaavaa sanaparia on vaikea löytää kielestämme.

Tämä tutkimus on artikkeliväitöskirja, joka perustuu viiteen referoituun artikkeliin. Kysymyksessä on toimintatutkimus, joka antaa kolmenlaista tietoa: menetelmätietoa, tietoa aiheesta ja tietoa tuotteesta. Toimintatutkimus sallii monipuolisen menetelmävalikoiman. Tässä tutkimuksessa on käytetty systemaattista analyysiä, kvantitatiivista menetelmää, diskurssianalyysiä ja fenomenografiaa. Systemaattisen analyysin tuloksena syntyi mielekkään oppimisen malli. Empiirisiä menetelmiä käytettiin mallin kehittämiseen ja koetteluun.

Tutkimuksen kolme pääkysymystä ovat: 1) Mikä on käsitteiden asema ymmärtämisessä? 2) Mikä on kysymysten tehtävä mielekkäässä oppimisessa? 3) Mitä tehtäviä ymmärtämisellä on mielekkäässä oppimisessa? Yleiskäsite, käsite tai yleistys on ajattelun ja ymmärtämisen perustekijä. Tässä työssä käsitteellä tarkoitetaan realismin mukaisesti tietoisuutta attribuutista. Käsitteillä voidaan saada ideat ja asiat käsiin, jolloin ne tulevat ymmärretyiksi. Ajatusten vaihto, opettaminen ja keskustelu edellyttävät, että käsitteillä on julkinen ja henkilökohtainen ulottuvuus. Toimintatutkimuksen mukaisesti kehitettiin ja kokeiltiin keinoja, miten ymmärtämistä voidaan arvioida. Lisäksi kokeiltiin, miten sopivilla kysymyksillä voidaan fokusoida oppijan tarkkaavaisuutta ja virittää päättelyä, joka kehittää faktojen, käsitteiden ja periaatteiden ymmärtämistä. Tutkimuksessa havaittiin, että toiminnallisten periaatteiden ja sääntöjen pohdiskelut kehittivät myös laskutaitoa.

Mielekkään oppimisen malli on vastaus kolmanteen kysymykseen ja se on tämän tutkimuksen päätulos. Mallin produktiivista toimintaa ylläpitää kestomuistin tietojärjestelmän ja työmuistin kognitiivisten prosessien vuorovaikutus, joka tuottaa uutta tietoa ja kehittää ajattelutaitoja. Vuorovaikutus perustuu käsitteiden ja ymmärtämisen dualistiseen luonteeseen. Mallin mukaan oppiminen ilman taustatietoa eli käsitteellistä ymmärtämistä on mahdotonta, koska ajattelu perustuu aiemmin hankittuun tietoon. Käsitteellisen tiedon lisäksi ymmärtämisellä on mallissa kolme muuta muotoa: tulkinta, synteesi ja akkommodaatio, jotka toimivat työmuistissa. Ajattelun ja oppimisen ydinprosessit operoivat päättelykeskuksessa, jossa tuotetaan uutta tietoa tulkinnan, ongelmanratkaisun ja todistamisen avulla.

From the beginning, the primary goals of comprehensive school curriculum have been to develop thinking skills and understanding. The main purpose of this research was to find out the nature and function of understanding in mathematics learning. Understanding, however, is not an on/off system, but a concept that has several meanings and functions in different contexts. In English there are two verbs which are almost synonymous: to understand and to comprehend. Comprehend seems to imply a mental process and understand connotes more the result of such a process. In Finnish the word ”ymmärtää” seems to be dualistic, because we don’t have a corresponding word pair in our language.

This research is an article dissertation based on five refered articles. It is a teacher research that provides three types of information: methods of knowledge, information about subject and information about product. A teacher research allows a versatile set of methods. Systematic analysis, quantitative method, discourse analysis and phenomenography have been used. As a result of the systematic analysis, a meaningful learning model was developed. Empirical methods were used to develop and to investigate the model.

In the study there were three main questions: 1) How are the general concepts related to understanding? 2) What is the role of questions in meningful learning? 3) What are the functions of understanding in meaningful learning? The term concept can also be called the general concept or the generalization and it is the base factor of thinking and understanding. In this work the term concept refers to conciousness of an attribute according to realism. With concepts we can grasp of ideas and become understandable. Communication and teaching require, that the concepts have public and private dimensions. Tools to evaluate and promote understanding were developed and investigated according to a teacher research. Furthermore it was investigated how we can focus a learner’s attention and stimulate reasoning to develop understanding of facts, concepts and principles. It was found that pondering of functional principles and rules promoted also calculating skills.

The model of meaningful learning is the answer to the third question and it is the main result of this study. The productive processes in the model are maintained by the interaction between knowledge system in the permanent memory and cognitive processes in the working memory. It generates new knowledge and developes thinking skills. This is also a clear indication of the dualistic nature of understanding in learning process. According to this model, learning without conceptual understanding is impossible, because our thinking is based on prior knowledge. In addition to the conceptual knowledge there are three other modes of understanding in the model: interpretation, synthesis and accommodation. They refer to acts of comprehension and are operating in the working memory. The main activities of reasoning and learning are operating in the reasoning module producing new information through pondering, problem solving and proof proving.